若橢圓E1：
x2
a21
+
y2
b21
=1和橢圓E2：
x2
a22
+
y2
b22
=1滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（2，
6
)且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點(diǎn)的一條射線l分別與（Ⅰ）中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在線段OB上）．
①若P是線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|，|OP|，|OB|成等比數(shù)列，求P點(diǎn)的軌跡方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
（Ⅰ）設(shè)與
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1．
則有
2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
…（3分）
解得a2=16，b2=8．
所求方程是
x2
16
+
y2
8
=1．…（4分）
（Ⅱ）①當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)A(0，±
2
)，B(0，±2
2
)，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)P（0，y0），則y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）
當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）則
y1=kx1
x21
4
+
y21
2
=1

得
x21
=
4
1+2k2
y21
=
4k2
1+2k2

∴|OA|=
2
1+k2
1+2k2
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
…（7分）
又點(diǎn)P在l上，則k=
y
x
，且由x2+y2=
8(1+k2)
1+2k2
=
8(1+
y2
x2
)
1+2
y2
x2
=
8(x2+y2)
x2+2y2
，
即所求方程是
x2
8
+
y2
4
=1．
又∵（0，±2）適合方程，
故所求橢圓的方程是
x2
8
+
y2
4
=1．…（9分）
②由①可知，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，|OA|•|OB|=
2
•2
2
=4，當(dāng)l的斜率存在時(shí)，
|OA|•|OB|=
8(1+k2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2
，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)M（
3
，0），橢圓
x2
4
+y2=1與直線y=k（x+
3
）交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長為（　�。�
A．4B．8C．12D．16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直線y=x-2上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P能作出拋物線y=
1
2
x2的兩條互相垂直的切線？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線
x2
v
-
y2
圖6
=圖的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，當(dāng)mn取得最小值時(shí)，直線y=-
2
x+2與曲線
x|x|
m
+
y|y|
n
=1交點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．

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同步練習(xí)冊答案