Question

已知函數(shù)f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意n∈N^*，f_n（x）均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知k，m∈N^*，k＜m，且函數(shù)f_k（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)f_m（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）表示出g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，e^x-1有一零點(diǎn)0，只需討論x²-2x-a的零點(diǎn)情況，△=4+4a，分△＜0，△=0，△＞0三種情況進(jìn)行討論可得‘
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，令g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，則問題等價(jià)于對(duì)任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，進(jìn)而由零點(diǎn)判定定理得對(duì)任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，化為恒成立可求；
（3）可知函數(shù)f_k（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，從而f′_k（x）＜0，則△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，由此推導(dǎo)f′_m（x）的符號(hào)可得結(jié)論；

解答： 解：（1）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
△=4+4a，
①當(dāng)a＜-1時(shí)，△＜0，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)：x₁=0；
②當(dāng)a=-1時(shí)，△=0，函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)：x₁=0，x₂=1，；
③當(dāng)a=0時(shí)，△＞0，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)：x₁=0，x₂=2；
④當(dāng)a＞-1，a≠0時(shí)，△＞0函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)：x₁=0，x₂=1-

a+1

，x3=1+

a+1

；
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，
設(shè)g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線．
由題意對(duì)任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，
則對(duì)任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，即n（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，
又任意n∈N^*，8-

6

n

關(guān)于n遞增，8-

6

n

＞-1，
故-1＜a＜（8-

6

n

）_min，-1＜a＜8-6=2，
∴a的取值范圍是（-1，2）．
（3）由（2）知，存在x∈R，fk′(x)=

-kx2+2(k+1)x+ak-2

ekx

＜0，
又函數(shù)f_k（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)f_k（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，
從而△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，即a≤-(1+

1

k2

)，
∴△m=4(m2+1+m2a)≤4[m2+1-m2(1+

1

k2

)]=

4(k2-m2)

k2

，
由k，m∈N^*，k＜m，知△_m＜0，即對(duì)任意x∈R，f′m(x)=

-mx2+2(m+1)x+am-2

emx

＜0，
故函數(shù)f_m（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，能力要求較高．