Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1為函數(shù)y=f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y=f（x）的圖象是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數(shù)f（x）e^x的導(dǎo)函數(shù)，利用x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)可得a，b，c之間的關(guān)系，再代入函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，對(duì)答案分別代入驗(yàn)證，看哪個(gè)答案不成立即可．
解答：解：由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y'=f'（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一個(gè)根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函數(shù)f（x）=ax²+bx+a，對(duì)稱軸為x=-，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
對(duì)于A，由圖得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，
對(duì)于B，由圖得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，
對(duì)于C，由圖得a＜0，f（0）＜0，x=-＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0不矛盾，
對(duì)于D，由圖得a＞0，f（0）＞0，x=-＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0于原圖中f（-1）＞0矛盾，D不對(duì)．
法二：所以函數(shù)f（x）=ax²+bx+a，由此得函數(shù)相應(yīng)方程的兩根之積為1，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，D不成立
故選 D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．一般在知道一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，直接把極值點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)令其等0即可．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．