Question

在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2

34

，PB=AC=10，PC=AB=2

41

，則三棱錐P-ABC的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體AQPS-MBNC，以S為原點(diǎn)，SA為x軸，SP為y軸，SC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答： 解：如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體AQPS-MBNC，
以S為原點(diǎn)，SA為x軸，SP為y軸，SC為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)SA=a，SP=b，SC=c，
∵PA=BC=2

34

，PB=AC=10，PC=AB=2

41

，
∴

a2+b2=136 a2+c2=100 b2+c2=164

，解得a=6，b=10，c=8，
A（6，0，0），B（6，10，8），C（0，0，8），P（0，10，0），
∴

AC

=（-6，0，8），

AB

=（0，10，8），

BP

=（-6，0，-8）
cos＜

AB

，

AC

＞=

64

10×2 41

=

16

5 41

，∴sin＜

AB

，

AC

＞=

769

5 41

，
∴S_△ABC=

1

2

×|AB|×|AC|×sin＜

AB

•

AC

＞
=

1

2

×2

41

×10×

769

5 41

=2

769

．
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，

n • AB =10y+8z=0 n • AC =-6x+8z=0

，取x=20，得

n

=（20，-12，15），
∴P到平面ABC的距離：
d=

| BP • n |

| n |

=

|-120-120|

400+144+225

=

240

769

，
∴三棱錐P-ABC的體積：
V=

1

3

×S△ABC×d=

1

3

×2

769

×

240

769

=160．
故答案為：160．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和向量法的合理運(yùn)用．