在三棱錐P-ABC中,PA=BC=2
34
,PB=AC=10,PC=AB=2
41
,則三棱錐P-ABC的體積為
 
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:構(gòu)造長(zhǎng)方體AQPS-MBNC,以S為原點(diǎn),SA為x軸,SP為y軸,SC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出三棱錐P-ABC的體積.
解答: 解:如圖,構(gòu)造長(zhǎng)方體AQPS-MBNC,
以S為原點(diǎn),SA為x軸,SP為y軸,SC為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)SA=a,SP=b,SC=c,
∵PA=BC=2
34
,PB=AC=10,PC=AB=2
41
,
a2+b2=136
a2+c2=100
b2+c2=164
,解得a=6,b=10,c=8,
A(6,0,0),B(6,10,8),C(0,0,8),P(0,10,0),
AC
=(-6,0,8),
AB
=(0,10,8),
BP
=(-6,0,-8)
cos
AB
,
AC
=
64
10×2
41
=
16
5
41
,∴sin<
AB
AC
>=
769
5
41
,
∴S△ABC=
1
2
×|AB|×|AC|×sin<
AB
AC

=
1
2
×2
41
×10×
769
5
41
=2
769

設(shè)平面ABC的法向量
n
=(x,y,z)
,
n
AB
=10y+8z=0
n
AC
=-6x+8z=0
,取x=20,得
n
=(20,-12,15),
∴P到平面ABC的距離:
d=
|
BP
n
|
|
n
|
=
|-120-120|
400+144+225
=
240
769

∴三棱錐P-ABC的體積:
V=
1
3
×S△ABC×d
=
1
3
×2
769
×
240
769
=160.
故答案為:160.
點(diǎn)評(píng):本題考查三棱錐的體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法和向量法的合理運(yùn)用.
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,解方程f(x)=
1
4

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a
b
=
 

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=
 

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