已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,其一條漸近線(xiàn)方程是,且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn).
(1)求此雙曲線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),其方向向量為,令向量滿(mǎn)足.雙曲線(xiàn)的右支上是否存在唯一一點(diǎn),使得. 若存在,求出對(duì)應(yīng)的值和的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為,將點(diǎn)代入可得,
雙曲線(xiàn)的方程為.
(2)依題意,直線(xiàn) 的方程為 .設(shè)是雙曲線(xiàn)右支上滿(mǎn)足
的點(diǎn),結(jié)合 ,得,
即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
若,則直線(xiàn)在雙曲線(xiàn)右支的上方,故,從而
. 又因?yàn)?,所以
.
此時(shí) ,由得 ,此時(shí)方程有唯一解 ,
則
綜上,符合條件的值為 ,此時(shí).
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