Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a_n²+a_n-2S_n=0，c_n=a_nb_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*），求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n并判斷是否存在整數(shù)m、M，使得m＜T_n＜M對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，且M-m=4？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n＞1，得（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，從而a_n-a_n-1=1，令n=1，得a_n=1+（n-1）=n．
（2）由已知得cn=n(

1

2

)n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出存在整數(shù)M=4，m=0滿足題目要求．

解答： （本題滿分15分）
解：（1）令n＞1，

a

2 n-1

+an-1-2Sn-1=0，
所以（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
a_n-a_n-1=1，
令n=1
則

a

2 1

+a1-2a1=0⇒a1=1．
從而，a_n=1+（n-1）=n．
（2）因?yàn)?span id="ndhe9y5" class="MathJye">

bn

bn-1

=

1

2

，所以bn=(

1

2

)n-1，
因此cn=n(

1

2

)n-1．
所以Tn=1(

1

2

)0+2(

1

2

)1+…+n(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1(

1

2

)1+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，

1

2

Tn=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，Tn=4[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n-1
=4-4(

1

2

)n-n(

1

2

)n-1
=4-(2n+4)(

1

2

)n．
從而可得：T_n＜4．
因?yàn)?span id="14l3oap" class="MathJye">Tn+1-Tn=4-(2n+6)(

1

2

)n+1-4+(2n+4)(

1

2

)n=(

1

2

)n(n+1)＞0．
所以T_n≥T₁=1．
故存在整數(shù)M=4，m=0滿足題目要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．