Question

函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x-3）•g（x+4）的零點均在區(qū)間[a，b]，（a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　�。�

• A、9
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導數(shù)，確定f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點，同理可得函數(shù)g（x）在[0，1]上有一個零點；即可得出結(jié)論．

解答： 解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴；
x＞-1時，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1時，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2014

-

1

2015

）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點；
∴函數(shù)f（x-3）在[2，3]上有一個零點，
同理，g′（x）=-1+x-x²+…-x²⁰¹⁴；
x＞-1時，g′（x）＜0，g′（-1）=-2015＜0，x＜-1時，g′（x）＜0，
因此g（x）是R上的減函數(shù)，
∵g（0）=-1＜0，g（1）=（1-1）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）＞0
∴函數(shù)g（x）在[0，1]上有一個零點；
∴函數(shù)g（x+4）在[-4，-3]上有一個零點，
∵函數(shù)F（x）=f（x-3）•g（x+4）的零點均在區(qū)間[a，b]，（a，b∈Z）內(nèi)，
∴a_max=-4，b_min=3，
∴（b-a）_min=3-（-4）=7．
故選C．

點評：此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，學生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．