Question

已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線l：ax-y-2=0（a＞0）與圓C相交于A、B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（-2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓心坐標為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程可得，根據(jù)題意把點A代入圓方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離等于半徑聯(lián)立方程求得t和r，則圓的方程可求得．
（2）把直線方程代入圓的方程，消去y整理利用判別式大于0求得a的范圍．
（3）設符合條件的實數(shù)a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-，則l的方程可得，把圓心代入求得a，根據(jù)（2）中的范圍可知a不符合題意，進而可判斷出不存在實數(shù)a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．
解答：解：（1）解：設圓心坐標為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程為（x-t）²+（y-t-1）²=r²
依題意可知求得t=0，r=
∴圓的方程為x²+（y-1）²=5；

（2）把直線ax-y-2=0即y=ax-2代入圓的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²-6ax+4=0．由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，由于a＞0，解得a＞．
所以實數(shù)a的取值范圍是（，+∞）．

（3）設符合條件的實數(shù)a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-，
l的方程為y=-（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（0，1）必在l上．
所以0+a+2-4a=0，解得a=．
由于，
故不存在實數(shù)a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．
點評：本題主要考查了直線與的方程的綜合運用．考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力．