Question

設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過(guò)右焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若在橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)上存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用橢圓的定義，求出PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再根據(jù)△PQR為正三角形，PQ是過(guò)左焦點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，構(gòu)建不等式，即可求得橢圓離心率的范圍．

解答： 解：如圖，

設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P、M、Q分別作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為P'、M'、Q'，
則|MM'|=

1

2

（|PP'|+|QQ'|）=

1

2e

（|PF|+|QF|）=

1

2e

|PQ|，
假設(shè)存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，則由|RM|=

3

2

|PQ|，且|MM'|＜|RM|，
得：

1

2e

|PQ|＜

3

2

|PQ|，
∴

1

2e

＜

3

2

，
∴e＞

3

3

．
∴橢圓離心率e的取值范圍是（

3

3

，1）．
故答案為：（

3

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查解不等式，屬中檔題．