Question

17．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=$\frac{1}{3}$c，D為AC邊上一點．
（1）若c=2b=4，S_△BCD=$\frac{5}{3}$，求DC的長．
（2）若D是AC的中點，且$cosB=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，BD=\sqrt{26}$，求△ABC的最短邊的邊長．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，結合已知可求sinA，利用三角形面積公式可求ABC的面積，進而可求CD的值．
（2）由同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，結合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三邊長，即可得解．

解答 解：∵$asinAcosC+csinAcosA=\frac{1}{3}c$，
∴$sinAsinAcosC+sinCsinAcosA=\frac{1}{3}sinC$，…（1分）
即$sinA{sinB}=\frac{1}{3}sinC$，…（2分）
（1）∵c=2b，
∴sinC=2sinB，
則$sinA=\frac{2}{3}$，…（3分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{8}{3}$，…（4分）
∵$AC=2，{S_{△BCD}}=\frac{5}{3}，\frac{CD}{AC}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$，
∴$CD=\frac{5}{4}$．…（6分）
（2）由$cosB=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（7分）
∵C=π-（A+B），
∴$3sinA=\sqrt{5}sin（{A+B}）$，
則sinA=cosA，
得tanA=1，…（8分）
∴$A=\frac{π}{4}$，則${c^2}+\frac{1}{4}{b^2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}bc=26$，…（9分）
∵$sinA×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{1}{3}sinC$，且$sinB×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{3}sinC$，…（10分）
∴$c=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}a，b=\frac{{\sqrt{2}}}{3}c=\frac{{\sqrt{10}}}{5}a$，
∴$\frac{9}{5}{a^2}+\frac{1}{10}{a^2}-\frac{3}{5}{a^2}=26$，…（11分）
解得：$a=2\sqrt{5}$，
∴$b=2\sqrt{2}，c=6$，
∴△ABC的最短邊的邊長$2\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．