分析 (1)利用遞推關(guān)系即可得出;
(2)利用遞推關(guān)系與“累乘求積”即可得出;
(3)利用遞推關(guān)系,對(duì)q分類討論即可得出.
解答 (1)證明:由p=1,r=0,得Sn=nan,
∴Sn-1=(n-1)an-1(n≥2),
兩式相減,得an-an-1=0(n≥2),
∴{an}是等差數(shù)列.
(2)解:令n=1,得p+r=1,∴r=1-p=$\frac{2}{3}$,
則Sn=$(\frac{1}{3}n+\frac{2}{3})$an,${S}_{n-1}=[\frac{1}{3}(n-1)+\frac{2}{3}]$an-1,
兩式相減,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$,
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n+1}{n-1}•\frac{n}{n-2}•\frac{n-1}{n-3}$•…•$\frac{4}{2}×\frac{3}{1}×$2=n(n+1),
化簡得an=n2+n(n≥2),
又a1=2適合an=n2+n(n≥2),
∴an=n2+n.
(3)解:由(2)知r=1-p,
∴Sn=(pn+1-p)an,得Sn-1=(pn+1-2p)an-1(n≥2),
兩式相減,得p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1(n≥2),
易知p≠0,∴$\frac{{a}_{n}}{pn+1-2p}$=$\frac{{a}_{n-1}}{p(n-1)}$.
①當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時(shí),得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$,
∴$\frac{{a}_{2016}}{2016}$=$\frac{{a}_{2015}}{2015}$=$\frac{{a}_{2014}}{2014}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$,
滿足a2016=2016a1,pr=$\frac{1}{4}$.
②當(dāng)p$>\frac{1}{2}$時(shí),由p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1(n≥2),又an>0,
∴p(n-1)an<pnan-1(n≥2),即$\frac{{a}_{n}}{n}$$<\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$,不滿足a2016=2016a1,舍去.
③當(dāng)$p<\frac{1}{2}$且p≠0時(shí),類似可以證明a2015=2015a1也不成立;
綜上所述,p=r=$\frac{1}{2}$,∴pr=$\frac{1}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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