Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-3x+1，數(shù)列{a_n}（n∈N₊）是遞增的等差數(shù)列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+2，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}（n∈N₊）的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差中項的得到關(guān)于x的方程，求出x的值，再求出數(shù)列的首項和公差，問題得以解決，
（2）知b_n=a_n+2=n，由$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂項求和即可得到數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}（n∈N₊）的前n項和

解答 解：（1）由題意：a₁+a₃=（x+1）³-3（x+1）+1+（x-1）³-3（x-1）+1=2a₂=0，
解得：x=1或x=2；
若x=2，則a₁=f（x+1）=1，a₂=0，a₃=f（x-1）=-1．（不合題意，舍去），
若x=1，則a₁=f（2）=-1，a₂=0，a₃=f（0）=1．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=-1+1×（n-1）=n-2，
（2）由（1）知b_n=a_n+2=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前項和為：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列通項公式，“裂項相消法”求數(shù)列的前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．