Question

13．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin2x+4cos²x-3
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，且對(duì)x∈R，f（x）的最大值為f（A），若a=2，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件求得A的值，利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cosA 的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin2x+4cos²x-3=2$\sqrt{3}$sin2x+4•$\frac{1+cos2x}{2}$-3=2$\sqrt{3}$sin2x+2cos2x-1=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，∵f（x）=4sin（2A+$\frac{π}{6}$）-1的最大值為f（A）=3，此時(shí)，A=$\frac{π}{6}$，
若a=2，則a²=4=b²+c²-2bc•cosA≥2bc-$\sqrt{3}$bc，∴bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=8+4$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc的最大為$\frac{\sqrt{3}}{2}$•4（2+$\sqrt{3}$）=6+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．