Question

設(shè)M是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，∠F₁MF₂=

π

6

，則△MF₁F₂的面積為（　　）

• A、

  16

  3

  3

• B、16(2+

  3

  )
• C、16(2-

  3

  )
• D、16

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的定義和余弦定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|，結(jié)合三角形的面積公式，可得△MF₁F₂的面積

解答： 解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，∠F₁MF₂=

π

6

，
∴a²=25，b²=16，可得c²=a²-b²=9，即a=5，c=3，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則有m+n=10，
∵∠F₁MF₂=

π

6

，
∴36=m²+n²-2mncos

π

6

∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
∴mn=

64

2+ 3

，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

2+ 3

．
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

π

6

=

1

2

•

64

2+ 3

•

1

2

=16（2-

3

）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形，求它的面積，著重考查了余弦定理、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)．