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11.已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線垂直于y軸,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若y=kx與y=f(x)的圖象存在三個交點(diǎn),求k的取值范圍.

分析 (1)欲求實(shí)數(shù)a的值,只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,最后利用斜率為0即可求得a;
(2)欲使y=kx與y=f(x)的圖象存在三個交點(diǎn),只需kx=ex(x2-2x-2)有三解,將k分離,研究另一側(cè)函數(shù)的圖象性質(zhì),結(jié)合圖象可求出k的取值范圍.

解答 解:(1)f′(x)=(ex)′•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)′
=ex•(ax2-2x-2)+ex•(2ax-2)
=a•ex•(x-2a)(x+2).
∵曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線垂直于y軸,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=0,
∴a=1.
∴實(shí)數(shù)a的值為:1.
(2)∵y=kx與y=f(x)的圖象存在三個交點(diǎn)
∴kx=ex(x2-2x-2)有三解,即k=exx22x2x
而令g(x)=exx22x2x則g′(x)=exx3x22x+2x2=exx1x22x2
令g′(x)=0解得x=1或±2
當(dāng)x<-2時,g′(x)<0,當(dāng)-2<x<0時,g′(x)>0,
當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,當(dāng)1<x<2時,g′(x)<0,當(dāng)x>2時,g′(x)>0
∴當(dāng)x=-2時函數(shù)取極小值g(-2)=-3e-2,當(dāng)x=1時,函數(shù)取極大值g(1)=-3e,
當(dāng)x=2時,函數(shù)取極小值g(2)=-e2,畫出函數(shù)圖象
結(jié)合函數(shù)的圖象可知-e2<k<-3e或-3e-2<k<0

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.

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