Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n＞0，a₁=1，且$\sqrt{{a}_{n+1}}$=f（$\sqrt{{a}_{n}}$），求a_n．

Answer 1

分析 由已知可得$\sqrt{{a}_{n+1}}=\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}}+1}$，取倒數(shù)后可得數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{x}{x+1}$，且$\sqrt{{a}_{n+1}}$=f（$\sqrt{{a}_{n}}$），
得$\sqrt{{a}_{n+1}}=\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}}+1}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}+1$，即$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}+1}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}=1$，
又a₁=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}=1+1×（n-1）=n$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查等差關(guān)系的確定，是中檔題．