Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x）．若g（x）=xf（x），則滿足g（1）＞g（1-2x）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（-∞，0）∪（1，+∞）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得g（x）=xf（x）是定義在R的偶函數(shù)．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），可得xf′（x）+f（x）＜0．進(jìn)而得到g′（x）＜0，由于函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增．變形g（1）＞g（1-2x）=g（|1-2x|），利用單調(diào)性即可得出．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）是定義在R的偶函數(shù)．
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0．
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
∵g（1）＞g（1-2x）=g（|1-2x|），
∴1＜|1-2x|，
∴2x-1＞1或2x-1＜-1，
解得x＞1或x＜0．
∴滿足g（1）＞g（1-2x）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．