已知橢圓E的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作斜率為2的直線交橢圓E于P點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為
 
．
分析：①當(dāng)PF2⊥x軸時，可得P(c，
b2
a
)，由于直線的斜率為2，可得
b2
a
2c
=2，即可得出．
②當(dāng)PF1⊥PF2時，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則
m+n=2a
n
m
=2
m2+n2=4c2
即可得出．
解答：解：分類討論：①當(dāng)PF2⊥x軸時，可得P(c，
b2
a
)，
∵直線的斜率為2，
∴
b2
a
2c
=2，化為b2=4ac=a2-c2，
∴e2+4e-1=0，1＞e＞0，
解得e=
5
-2．
②當(dāng)PF1⊥PF2時，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，
則
m+n=2a
n
m
=2
m2+n2=4c2
化為9c2=5a2，
解得e=
5
3
．
綜上可知：橢圓的離心率為
5
-2或
5
3
．
故答案為：
5
-2或
5
3
．
點評：本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)、分類討論、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，數(shù)學(xué)公式，則e的值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年湖南省永州市祁陽二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，，則e的值為    ．

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