Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求g1（x），g2（x），g3（x），并猜想gn（x）的表達(dá)式（不必證明）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N+ ， 比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，g（x）= ，

∴

猜想：gn（x）= （x≥0）

（2）解：令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），

∵f（x）≥ag（x）恒成立，∴hmin（x）≥0．

h′（x）= ﹣ = ，

令h′（x）＞0得x＞a﹣1，

當(dāng)a﹣1≤0即a≤1時(shí)，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴hmin（x）=h（0）=0，符合題意；

當(dāng)a﹣1＞0即a＞1時(shí)，h（x）在[0，a﹣1）上單調(diào)遞減，在[a﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴hmin（x）=h（a﹣1）=lna﹣a+1，

令φ（a）=lna﹣a+1（a＞1），則φ′（a）= ﹣1＜0，

∴φ（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴φ（a）＜φ（1）=0，

即hmin（x）＜0，不符合題意．

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，1]

（3）解：g（1）= ，1﹣f（1）=1﹣ln2，

∵ln2＞ln = ，∴1﹣ln2＜ ，即g（1）＞1﹣f（1），

猜想：

證明如下：

（i）當(dāng)n=1時(shí)，顯然猜想成立；

（ii） 假設(shè)n=k時(shí)， 成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

欲證左邊＞右邊，

即證： ，

即證：

由（2）中的結(jié)論，令a=1得不等式：

所以 成立

即n=k+1時(shí)，猜想成立．

由（i） （ii） 對(duì)一切n∈N+，不等式 成立

【解析】（1）求出g（x）的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；（2）令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），對(duì)a進(jìn)行討論，求出h（x）的最小值，令hmin（x）≥0恒成立即可；（3）比較g（1）與1﹣f（1）猜測(cè)大小關(guān)系，利用（2）的結(jié)論進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)精析】掌握歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．