如圖1,直角梯形FBCE中,四邊形ADEF是正方形,AB=AD=2,CD=4.將正方形沿AD折起,得到如圖2所示的多面體,其中面ADE1F1⊥面ABCD,M是E1C中點(diǎn).
(1)證明:BM∥平面ADE1F1;
(2)求三棱錐D-BME1的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)取DE中點(diǎn)N,連結(jié)MN,AN.根據(jù)三角形中位定理及已知可得MN∥AB,且MN=AB,即四邊形ABMN為平行四邊形,故BM∥AN,由線面平行的判定定理可得BM∥平面ADE1F1;
(2)由面面垂直的性質(zhì)定理可得E1D⊥面ABCD,進(jìn)而E1D⊥BC,利用勾股定理可得BC⊥BD,結(jié)合線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE1,進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面BCE1⊥平面BDE1,作DG⊥BE1,則DG⊥平面BCE1,DG是所求三棱錐的高,代入棱錐體積公式可得答案.
解答: 證明:(1)取DE中點(diǎn)N,連結(jié)MN,AN.
在△EDC中,M,N分別為E1C,E1D的中點(diǎn),
∴MN∥CD,MN=
1
2
CD.
由已知AB∥CD,AB=
1
2
CD,
∴MN∥AB,且MN=AB.
∴四邊形ABMN為平行四邊形,
∴BM∥AN.…(3分)
又∵AN?平面ADE1F1,且BM?平面ADE1F1
∴BM∥平面ADE1F1.…(4分)
解:(2)面ADE1F1⊥面ABCD,E1D?面ADE1F1,面ADE1F1∩面ABCD=AD,E1D⊥AD,
∴E1D⊥面ABCD
又∵BC?面ABCD,
∴E1D⊥BC…(6分)
梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,∠A=90°,BC=BD=2
2

∴BD2+BC2=CD2
∴∠CDB=90°,即BC⊥BD
又∵BD∩E1D=D,
∴BC⊥平面BDE1…(8分)
又BC?平面BCE1,
∴平面BCE1⊥平面BDE1
作DG⊥BE1,則DG⊥平面BCE1,即DG是所求三棱錐高…(10分)
三棱錐D-BME1的體積V=
1
3
•DG•S△BME1=
1
6
•DG•S△BCE1,
在直角三角形BDE1中,由面積關(guān)系可得DG=
2
6
3
,又S△BCE1=2
6

∴V=
4
3
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積,直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定與性質(zhì),難度中檔.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

經(jīng)過(guò)拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)和雙曲線
x2
17
-
y2
8
=1的右焦點(diǎn)的直線方程為( 。
A、x+48y-3=0
B、x+80y-5=0
C、x+3y-3=0
D、x+5y-5=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直線y=5,與y=-1在區(qū)間[0,
ω
]上截曲線y=Asinωx+B(A>0,B>0,ω>0)所得弦長(zhǎng)相等且不為零,則下列描述正確的是( 。
A、A≤
2
3
,B=
5
2
B、A≤3,B=2
C、A>
3
2
,B=
5
2
D、A>3,B=2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),當(dāng)x>0,f(x)>1,對(duì)任意a,b∈R有f(a+b)=f(a)•f(b) 
(1)求f(0);
(2)證明對(duì)x∈R,有f(x)>0;
(3)證明f(x)在R上為增函數(shù);
(4)若f(x)•f(2x-x2)>1,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥AC,PC⊥平面ABC,點(diǎn)D,E分別為線段PB,AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥平面PBC;
(2)設(shè)二面角D-CE-B的平面角為θ,若PC=BC=2,AC=2
3
,求cosθ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=
1
2
CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF翻折,使平面ADEF與平面ABCD垂直,M為ED的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:AM∥平面BEC;
(2)求證:BC⊥平面BDE;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,多面體ABCDEF中,BA、BC、BE兩兩垂直,且AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1.
(Ⅰ)若點(diǎn)G在線段AB上,且BG=3GA,求證:CG∥平面ADF;
(Ⅱ)求證:平面ABD⊥平面DEF.
(Ⅲ)求直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
1
2
,0),準(zhǔn)線方程為x=-
1
2

(1)寫(xiě)出拋物線C的方程;
(2)(此小題僅理科做)過(guò)F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB重心G的軌跡方程;
(3)點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓(x-3)2+y2=2的切線,切點(diǎn)分別是M,N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí),|MN|的值最?并求出|MN|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1離心率是
2
,過(guò)點(diǎn)(
3
,1),且右支上的弦AB過(guò)右焦點(diǎn)F.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(3)是否存在以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O?,若存在,求出直線AB的斜率k的值.若不存在,則說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案