Question

定義域為R的函數(shù)y=f（x），當x＞0，f（x）＞1，對任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）•f（b） 
（1）求f（0）；
（2）證明對x∈R，有f（x）＞0；
（3）證明f（x）在R上為增函數(shù)；
（4）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）為使f（a+b）=f（a）•f（b）中有f（0），由當x＞0時，f（x）＞1．可設x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），結合f（1）＞1可求f（0）
（2）（3）要證明f（x）在R上是增函數(shù)，即證明當x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），當x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0，則f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可證
（4）由f（x）•f（2x-x²）＞1得到3x-x²＞0，解得即可．

解答： （1）解：設a=0，b=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）證明：∵對x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得當x₁＞0時，f（x₁）＞1＞0
當x₁=0時，f（x₁）=1＞0
當x₁＜0時，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1
∴0＜f（x₁）＜1
故對于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
（3）證明由（2）可知，
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
故f（x）在R上為增函數(shù)；
（4）∵f（x）•f（2x-x²）＞1，
∴f（x）•f（2x-x²）=f（3x-x²）＞1，
∴3x-x²＞0，
解得0＜x＜3

點評：本題主要考查了利用抽象函數(shù)的賦值法求解函數(shù)值，及利用構造法證明函數(shù)的單調(diào)性的技巧要求考生熟練應用，屬于中檔題．