Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，△PAB為正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠BCD=

π

4

，AD=1，BC=2，E為棱PC中點．
（1）求證：DE∥平面PAB；
（2）求證：面PAB⊥面PBC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC中點F，連結(jié)DF，EF，由已知條件推導(dǎo)出EF∥PB，DF∥AB，從而得到面DEF∥面PAB，由此能證明EF∥面PAB．
（2）由四邊形ABCD為直角梯形，得AB⊥BC，由面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，得BC⊥平面PAB，由此能證明面PAB⊥面PBC．

解答： 證明：（1）取BC中點F，連結(jié)DF，EF，
∵E是PC中點，F(xiàn)是BC中點，∴EF∥PB，
∵四邊形ABCD為直角梯形，且AD∥BC，AD=1，BC=2，F(xiàn)為BC中點，
∴DF∥AB，又EF∩DE=E，
∴面DEF∥面PAB，
又EF?面DEF，∴EF∥面PAB．
（2）∵四邊形ABCD為直角梯形，且AD∥BC，AD=1，BC=2，
∴AB⊥BC，
又面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．