Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，設(shè){a_n}的前n項和為S_n，則

1

S1

+

1

S2

+

1

S4

+…+

1

Sn

=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，可求得S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），于是

1

Sn

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，從而可求答案．

解答： 解：∵a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，
∴當(dāng)n≥2時，S_n=a₁+a₂+…+a_n=2+（4+6+8+10+…+2n+2）=2+

n(4+2n+2)

2

=n²+3n+2，
當(dāng)n=1時，a₁=6，也滿足上式；
∴S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
∴

1

Sn

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S4

+…+

1

Sn

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
故答案為：

n

2(n+2)

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，由數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，求得S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2）是關(guān)鍵，也是難點，考查裂項法的應(yīng)用，屬于難題．