Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，用數(shù)學(xué)歸納法證明是18的倍數(shù)．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，注意先驗(yàn)證成立，假設(shè)時(shí)成立，推出時(shí)亦成立即可．
（1）當(dāng)時(shí)，，∴.          1分
當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴，即.           3分
∴.
即當(dāng)n≥2時(shí).          5分
∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列.          6分
∴，即.            7分
∴.         8分
（2）.
①當(dāng)時(shí)，，顯然能被18整除；               9分
②假設(shè) 時(shí)，能被18整除，             10分
則當(dāng)時(shí)，

＝
＝
＝
＝，            13分
∵k≥1， ∴能被18整除.               14分
又能被18整除，
∴能被18整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立.            15分
由①②可知，當(dāng)時(shí)，是18的倍數(shù)．             16分