Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式：

x-y+2≥0 1≤x≤2 y≥2

．
（1）求

y

x

的取值范圍；
（2）不等式xy≤ax²+2y²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用

y

x

的幾何應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論；
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用

y

x

的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）在直角坐標(biāo)系中作出（x，y）的可行域：
設(shè)z=

y

x

，則z的幾何意義是可行域內(nèi)P（x，y）與（0，0）連線(xiàn)的斜率，
結(jié)合圖形得：當(dāng)P位于點(diǎn)B（2，2）時(shí)，OB的斜率最小為

2

2

=1，
當(dāng)P位于點(diǎn)D（1，3）時(shí)，OD的斜率最大為

3

1

=3，
即1≤z≤3，
∴求

y

x

的取值范圍是[1，3]．
（2）不等式xy≤ax²+2y²恒成立，
則a≥

xy-2y2

x2

=

y

x

-2(

y

x

)2=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

∵

y

x

的取值范圍是[1，3]．
∴當(dāng)

y

x

=1時(shí)，

y

x

-2(

y

x

)2取得最大值-1，
∴a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．