Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

，則z=

2x+y-1

x-1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，將z化簡為則

y+1

x-1

=z-2，利用斜率的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=

2x+y-1

x-1

=

2(x-1)+y+1

x-1

=2+

y+1

x-1

，
則

y+1

x-1

=z-2，
設(shè)k=

y+1

x-1

=z-2，
則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)D（1，-1）的斜率的取值范圍，
由

x= 2 x≤ 2 y

，解得

x= 2 y=1

，即A（

2

，1），
則由圖象可知當(dāng)OD的斜率k_OD=-1，DA的斜率k_DA=

-1-1

1- 2

=

2

2 -1

=2(

2

+1)=2

2

+2，
即DP的斜率的取值范圍為k≥k_DA或k≤k_OD，
即k≥2

2

+2或k≤-1，
∵k=z-2，
∴z-2≥2

2

+2或z-2≤-1，
即z≥2

2

+2+2=2

2

+4或z≤1，
即z=

2x+y-1

x-1

的取值范圍是（-∞，1]∪[2

2

+4，+∞），
故答案為：（-∞，1]∪[2

2

+4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜率的形式是解決本題的關(guān)鍵．