Question

【題目】已知函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，得到答案.

（2），設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性得到，得到答案.

（3）要證，即，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，得到，根據(jù)單調(diào)性得到答案.

（1），，

當時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述：時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2），即，設(shè)，

則

設(shè)，則在上恒成立，故單調(diào)遞增，

故，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，故.

（3），故，，相加得到.

要證，即證，即.

，即，設(shè)，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)圖像如圖所示：故取，

構(gòu)造函數(shù)，，

，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，故.

即，即，，，函數(shù)單調(diào)遞增，

故，即.