Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． ∴a3=a4﹣2a2 ， 可得a2q=a2（q2﹣2），
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．
∴an=2n ．
（II）n為奇數(shù)時(shí)，bn= = = ．
n為偶數(shù)時(shí)，bn= ．
∴T2n= + +…+ + +…+
= + +…+
= + +…+ ．
設(shè)A= +…+ ，
則 A= +…+ + ，
∴ A= +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴A= ﹣ ．
∴T2n= + ﹣ ．
【解析】（I）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2 ， a2q=a2（q2﹣2），解得q．進(jìn)而得出a1 ， 可得an ． （II）n為奇數(shù)時(shí)，bn= = = ．n為偶數(shù)時(shí)，bn= ．分組求和，利用“裂項(xiàng)求和”方法可得奇數(shù)項(xiàng)之和；利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得偶數(shù)項(xiàng)之和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．