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【題目】如圖，已知等邊中， ， 分別為， 邊的中點， 為的中點， 為邊上一點，且，將沿折到的位置，使平面平面.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】試題分析：（1）首先根據已知條件可證出，再由面面垂直的性質定理并結合平面平面可得出平面，然后再由和可證得，再在正中易證得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結論；（2）首先建立空間直角坐標系，并正確寫出各點的空間坐標，然后由法向量的定義分別求出平面和平面的法向量，最后由公式即可計算出所求的角的大小.

試題解析：（Ⅰ）因為， 為等邊的， 邊的中點，

所以是等邊三角形，且.因為是的中點，所以.

又由于平面平面， 平面，所以平面.

又平面，所以.因為，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（Ⅱ）設等邊的邊長為4，取中點，連接，由題設知，由（Ⅰ）知平面，又平面，所以，如圖建立空間直角坐標系，則， ， ， ， .

設平面的一個法向量為，則

由得令，則.

平面的一個法向量為，所以，

顯然二面角是銳角.所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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