Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-1（a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，正實(shí)數(shù)m、n滿足m+n=2mn．試比較f（

mn

）與f（

m+n

2

）的大小，并說明理由；
（3）討論函數(shù)F（x）=f（x）+x²，x∈[

1

e

，e]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，再在定義域內(nèi)化簡不等式f′(x)=

1

x

-a＞0，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由基本不等式可得m+n=2mn≥2

mn

，從而可求得

m+n

2

≥

mn

≥1；再結(jié)合（1）中所判斷的函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大��；
（3）化簡函數(shù)F（x）=f（x）+x²=lnx+x²-ax-1，從而可得

lnx-1

x

+x=a的解的個(gè)數(shù)問題，再令h(x)=

lnx-1

x

+x，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的取值問題，從而解答．

解答： 解：（1）依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

1

x

-a，令f′(x)=

1

x

-a＞0，得ax＜1，
當(dāng)a≤0時(shí)，ax＜1在（0，+∞）總成立，函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，由ax＜1得x＜

1

a

；
此時(shí)函數(shù)f（x）的增區(qū)間是(0，

1

a

)，減區(qū)間是(

1

a

，+∞)；

（2）解：∵m＞0，n＞0，
∴m+n=2mn≥2

mn

，
即mn≥1（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號）
∴

m+n

2

≥

mn

≥1；
由（1）知a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，+∞）；
∴f(

m+n

2

)≤f(

mn

)；

（3）解：F（x）=lnx+x²-ax-1，由F（x）=0得

lnx-1

x

+x=a；
令h(x)=

lnx-1

x

+x，h′(x)=

2-lnx

x2

+1；
∵

1

e

≤x≤e，
∴-1≤lnx≤1，
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在[

1

e

，e]上是增函數(shù)，
h(x)min=h(

1

e

)=

1

e

-2e，h(x)max=h(e)=e；
∴當(dāng)

1

e

-2e≤a≤e時(shí)函數(shù)F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜

1

e

-2e或a＞e時(shí)函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用，屬于難題．