Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x-m（m∈R）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，證明：（

x-lnx

ex

）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令g（x）=e^x-x，從而化恒成立問題為函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解；
（2）化簡：（

x-lnx

ex

）f（x）=（x-lnx）（1-

x-1

ex

）；從而令h（x）=x-lnx，n（x）=1-

x-1

ex

，分別利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值，從而證明不等式．

解答： 解：（1）由題意得，e^x-x-m＞0恒成立對x＞0恒成立，
令g（x）=e^x-x，
則g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=e^x-1＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=1；
故若使e^x-x-m＞0恒成立對x＞0恒成立，
則只需使m≤1；
（2）證明：（

x-lnx

ex

）f（x）=（x-lnx）（1-

x-1

ex

）；
令h（x）=x-lnx，h′（x）=

x-1

x

；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0；
即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（1）=1①．
令n（x）=1-

x-1

ex

，n′（x）=

x-2

ex

，
故n（x）=1-

x-1

ex

在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)；
故n（x）≥n（2）=1-

1

e2

②．
故由①②可得，
（

x-lnx

ex

）f（x）＞1-

1

e2

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的處理方法，屬于中檔題．