Question

已知函數(shù)f（x）=sinx（x∈R）與g（x）=cosx（x∈R）．
（1）對于函數(shù)F（x）=f（2x）•g（x），有下列結(jié)論：
    ①F（x）是奇函數(shù)；
    ②F（x）是周期函數(shù)，最小正周期為π；
    ③y=F（x）的圖象關(guān)于點（π，0）對稱；
    ④y=F（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱．
    其中正確結(jié)論的序號是

 

；（直接寫出所有正確結(jié)論的序號）
（2）對于函數(shù)G（x）=f（x）•g（2x），求滿足G（x）＞0的x的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）的值域為A，函數(shù)G（x）的值域為B，試判斷集合A，B之間的關(guān)系．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的奇偶性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)逐個判斷即可；
（2）化簡函數(shù)G（x），利用三角函數(shù)性質(zhì)解三角不等式即可；
（3）先利用三角函數(shù)性質(zhì)判斷F（x）和G（x）的值域，再判斷集合A，B之間的關(guān)系．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx，g（x）=cosx，
∴F（x）=f（2x）•g（x）=sin2x•cosx，
∴F（-x）=sin（-2x）•cos（-x）
=-sin2x•cosx=-F（x）．
∴F（x）是奇函數(shù)，
故①正確；
∵F（

π

4

）=sin

π

2

cos

π

4

=

2

2

，
F（

5π

4

）=sin

5π

2

cos

5π

4

=-

2

2

，
∴F（

π

4

）≠F（

5π

4

）．
∴②不正確；
∵F（π-x）=sin2（π-x）cos（π-x）
=sin2xcosx
F（π+x）=sin2（π+x）cos（π+x）
=-sin2xcosx
∴F（π-x）=-F（π+x）．
∴y=F（x）的圖象關(guān)于點（π，0）對稱，
即③正確；
∵F（

π

2

-x）=sin2（

π

2

-x）cos（

π

2

-x）
=sin2xsinx
F（

π

2

+x）=sin2（

π

2

+x）cos（

π

2

+x）
=sin2xsinx
∴F（

π

2

-x）=F（

π

2

+x）．
∴y=F（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱．
即④正確．
故答案為：①③④．
（2）∵G（x）=f（x）•g（2x）
=sinxcos2x＞0，
∴

sinx＞0 cos2x＞0

或

sinx＜0 cos2x＜0

．
∴x∈(2kπ，2kπ+

π

4

)∪(2kπ+

3π

4

，2kπ+π)∪(2kπ+

5π

4

，2kπ+

7π

4

)．
（3）∵|F（x）|=|sin2x•cosx|≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)

|cosx|=1 |sin2x|=1

時取得等號，
當(dāng)|cosx|=1時，x=kπ（k∈z），此時sin2x=sin2kπ=0，
∴F（x）≠1，
∴F（x）＜1，
即，A

? ≠

[-1，1]；
∵|G（x）|=|sinxcos2x|≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)

|cos2x|=1 |sinx|=1

時取得等號，
此時x=kπ+

π

2

（k∈z），
∴|G（x）|≤1，
即，B=[-1，1]；
由此可知，A

? ≠

B．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換的公式，三角不等式的求解，集合的基本關(guān)系等知識的綜合應(yīng)用，屬于難題．