證明下列不等式．
（1）求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．
分析：（1）將不等式左邊展開，根據(jù)a、b、c為正數(shù)，利用基本不等式可證得（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9成立；
（2）移項(xiàng)將不等式化為
n+2
+
n
＜2
n+1
，兩邊平方整理后，可得n+1＞
n2+2n
，比較（n+1）2與n2+2n的大小可得答案．
解答：證明：（1）左邊=3+(
a
b
+
b
a
)+(
c
b
+
b
c
)+(
a
c
+
c
a
)
因?yàn)椋篴、b、c為正數(shù)
所以：左邊≥3+2
a
b
•
b
a
+2
c
b
•
b
c
+2
a
c
•
c
a
=3+2+2+2=9
∴（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9
（2）要證
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
成立，
需證
n+2
+
n
＜2
n+1

需證(
n+2
+
n
)2＜(2
n+1
)2
需證n+1＞
n2+2n

需證（n+1）2＞n2+2n
需證n2+2n+1＞n2+2n，
只需證1＞0
因?yàn)?＞0顯然成立，所以原命題成立
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是不等式的證明，其中（1）考查的知識點(diǎn)是基本不等式，（2）考查的知識點(diǎn)是分析法證明．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）a，b都是正數(shù)，且a+b=1，求證：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，且0＜a＜1，求證：loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）對任意的正實(shí)數(shù)a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•太原模擬）證明下列不等式：
（1）用分析法證明：
3
+
8
＞1+
10
；
（2）已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，證明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則
b+c
a
x2+
c+a
b
y2+
a+b
c
z2≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
≥2（
1
x
+
1
y
+
1
z
）

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