證明下列不等式：
（1）a，b都是正數(shù)，且a+b=1，求證：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，且0＜a＜1，求證：loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．
分析：（1）由題設(shè)知左=(1+
a+b
a
)(1+
a+b
b
)=(2+
b
a
)(2+
a
b
)=5+2(
b
a
+
a
b
)≥9．
（2）由題設(shè)知ax+ay≥2
ax+y
，由0＜a＜1，知loga(ax+ay)≤loga2
ax+y
=
1
2
logaax+y+loga2=
1
2
(x+y)+loga2，由此能夠證明loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．
解答：證明（1）左=(1+
a+b
a
)(1+
a+b
b
)=(2+
b
a
)(2+
a
b
)=5+2(
b
a
+
a
b
)（3分）
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以
b
a
+
a
b
≥2（5分）
所以左=(1+
a+b
a
)(1+
a+b
b
)=(2+
b
a
)(2+
a
b
)=5+2(
b
a
+
a
b
)≥9（7分）
（2）∵ax＞0，ay＞0，
∴ax+ay≥2
ax+y
（9分）
又∵0＜a＜1，
∴loga(ax+ay)≤loga2
ax+y
=
1
2
logaax+y+loga2=
1
2
(x+y)+loga2（12分）
因?yàn)閥+x2=0，
∴loga(ax+ay)=
1
2
(x-x2)+loga2=-
1
2
(x-
1
2
)2+
1
8
+loga2≤
1
8
+loga2
即原不等式得證..（14分）
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式．
（1）求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）對任意的正實(shí)數(shù)a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•太原模擬）證明下列不等式：
（1）用分析法證明：
3
+
8
＞1+
10
；
（2）已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，證明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則
b+c
a
x2+
c+a
b
y2+
a+b
c
z2≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
≥2（
1
x
+
1
y
+
1
z
）

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