Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x，x＞0}\\{{{log}_{0.5}}（-x），x＜0}\end{array}}\right.$．
（I）求$f（f（-\frac{1}{4}））$的值；
（II）若f（a）＞f（-a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的解析，代值計(jì)算即可，
（Ⅱ）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（-$\frac{1}{4}$）=log_0.5（$\frac{1}{4}$）=2，f（2）=log₂2=1，
∴$f（f（-\frac{1}{4}））$=1，
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=log_0.5（-x），函數(shù)也為增函數(shù)，
∵f（a）＞f（-a），
當(dāng)a＞0時(shí)，則log₂a＞log_0.5a=log₂$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{a}$，解得a＞1，
當(dāng)a＜0時(shí)，則log_0.5（-a）=log₂（-a）即log₂$\frac{1}{-a}$＞log₂（-a），即-$\frac{1}{a}$＞-a，解得-1＜a＜0
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍（-1，0）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)值和參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是分類(lèi)討論，屬于中檔題．