【題目】如圖，點M，N分別為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中點，以正方體的六個面的中心為頂點構成一個八面體，若平面D1MNC1將該八面體分割成上、下兩部分的體積分別為V1、V2，則（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

如圖，先作出平面截八面體的截面為，建立空間直角坐標系，用點到平面的距離為向量在法向量上的投影的長，再計算兩部分的體積，得到體積之比,得到答案.

正方體的六個面的中心為頂點構成的八面體中中間和上方的頂點分別為

如圖，分別過作側棱的平行線,
分別 交于點，分別交于點,得到矩形.

由題意有為的中點，為的中點.

在矩形中,分別交于點，則分別為的中點,

平面,所以，平面.

將平面延展與交于點. 所以平面截八面體的截面為.

顯然與相交于的中點,設為.則三點共線.

在中,過作，如圖，可得為的一個三等分點.

設正方體的棱長為2，則.

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系

P（-1，0，0），R（1，0，0），Q（0，-1，0），

設平面的法向量為.

則，即 ，取 則

則點到平面的距離為向量在法向量上的投影的長.

所以

又

所以八面體在平面平面下方的部分的體積為

所以

故選：A

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