Question

已知函致f （x）=x³+bx²+cx+d．
（I）當(dāng)b=0時(shí)，證明：曲線y=f（x）與其在點(diǎn)（0，f（0））處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為12x+y-13=0，記函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，當(dāng)x₁+x₂=2時(shí)，求f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，從而可得切線方程，與已知曲線聯(lián)立，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）確定切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=x³+cx+d，f′（x）=3x²+c．
∴f（0）=d，f′（0）=c．…（2分）
曲線y=f（x）與其在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為y=cx+d．
由

y=x3+cx+d y=cx+d

消去y，得x³=0，x=0．
所以曲線y=f（x）與其在點(diǎn)（0，f（0））處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)即切點(diǎn)．…（4分）
（Ⅱ）解：由已知，切點(diǎn)為（1，1）．
又f′（x）=3x²+2bx+c，于是

f(1)=1 f′(1)=-12

，即

1+b+c+d=1 3+2b+c=-12

得c=-2b-15，d=b+15．…（7分）
從而f（x）=x³+bx²-（2b+15）x+b+15，f′（x）=3x²+2bx-2b-15．
依題設(shè)，x₁+x₂=-

2b

3

，故b=-3．…（9分）
于是f（x）=x³-3x²-9x+12，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值17	↘	極小值-15	↗

由此知，f（x₁）+f（x₂）=2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．