已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,且它們只有一個(gè)公共點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)的所有極值之和.
分析:(Ⅰ)當(dāng)b=0時(shí),f(x)=x3+cx+d,f′(x)=3x2+c.f(0)=d,f′(0)=c.曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線為y=cx+d.由此能夠證明曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅱ)由已知,切點(diǎn)為(1,1).又f′(x)=3x2+2bx+c,于是
f(1)=1
f′(1)=-12
,由此能夠求出函數(shù)y=f(x)的所有極值之和.
解答:(Ⅰ)證明:當(dāng)b=0時(shí),f(x)=x3+cx+d,
f′(x)=3x2+c.
f(0)=d,f′(0)=c.…(2分)
曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線為y=cx+d.
y=x3+cx+d
y=cx+d
,消去y,得x3=0,x=0.
所以曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)即切點(diǎn).…(5分)
(Ⅱ)解:由已知,切點(diǎn)為(1,1).
又f′(x)=3x2+2bx+c,于是
f(1)=1
f′(1)=-12
,
1+b+c+d=1
3+2b+c=-12
,
解得c=-2b-15,d=b+15.
從而f(x)=x3+bx2-(2b+15)x+b+15.…(8分)
y=x3+bx2-(2b+15)x+b+15
12x+y-13=0
,
消去y,得x3+bx2-(2b+3)x+b+2=0.
因直線12x+y-13=0與曲線y=f(x)只有一個(gè)公共點(diǎn)(1,1),
則方程x3+bx2-(2b+3)x+b+2
=(x-1)[x2+(b+1)x-b-2]
=(x-1)(x-1)(x+b+2)
故b=-3.…(10分)
于是f(x)=x3-3x2-9x+12,
f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值17 極小值-15
由此知,函數(shù)y=f(x)的所有極值之和為17-15=2.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查曲線與其切線只有一個(gè)公共點(diǎn)的證明,考查函數(shù)所有的極值之和的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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