Question

已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanA•tanC=2+

3

，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4

3

，求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角．

Answer 1

分析：先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+

3

，求得tanA+tanC的值，從而求得tanA和tanC的值，進(jìn)而求得A、C的值，由邊c上的高等于4

3

求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．

解答：解：由A、B、C成等差數(shù)列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=

3

（1+

3

）．
設(shè)tanA、tanC是方程x²-（

3

+3）x+2+

3

=0的兩根，解得x₁=1，x₂=2+

3

．
設(shè)A＜C，則tanA=1，tanC=2+

3

，∴A=

π

4

，C=

5π

12

．
∵邊c上的高等于4

3

，∴sinB=

4 3

a

，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4

6

，c=4

3

+4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直角三角形中的邊角關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．