設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-lnx，其中a＞
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），證明：函數(shù)g（x）沒有零點．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，解出即可；（2）由g（a）=f（x）min=f（
1
2a
）=
1
4a
-lnx，通過a的范圍，從而得出答案．
解答： 解：（1）∵f′（x）=2ax-
1
x
=
2ax2-1
x
，
令f′（x）＞0，解得：x＞
2a
2a
，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
2a
2a
，
∴f（x）在（0，
2a
2a
）遞減，在（
2a
2a
，+∞）遞增；
（2）由（1）得：g（a）=f（x）min=f（
2a
2a
）=
1
2
-ln
2a
2a
，
∵a＞
1
2
，∴
1
2
+ln2a-ln
2a
＞0，
∴g（a）＞0，
∴函數(shù)g（x）沒有零點．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導數(shù)的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)x≥0，則 x+
2
x+1
的最小值是（　�。�
A、2
B、3
C、2
2
D、2
2
-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且2Sn=an2+an，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)c為實數(shù)，如果對任意的正整數(shù)n，不等式
an+2
-
an
＞
c
an+2
恒成立，求證：c的最大值為1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓錐曲線E：
(x-c)2+y2
+
(x+c)2+y2
=4c（c為正常數(shù)，過原點O的直線與曲線E交于P、A兩點，其中P在第一象限，B是曲線E上不同于P，A的點，直線PB，AB的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0．
（Ⅰ）若P點坐標為（1，
3
2
），求圓錐曲線E的標準方程；
（Ⅱ）求k1•k2的值；
（Ⅲ）若PD⊥x軸于點D，D點坐標為（m，0），存在μ∈R使
AD
=μ
BD
，且直線AB與直線l：x=
4c2
m
交于點M，記直線PA、PM的斜率分別為k3，k4，問是否存在常數(shù)λ，使k1+k3=λk4，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD⊥平面ABCD，且PD=2，E，F(xiàn)分別是AB和BC的中點．
（1）求直線AC到平面PEF的距離；
（2）求直線PB與平面PEF所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=xln（x+1）在區(qū)間（k-1，k）上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線y2=2px三點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，則這三點的橫坐標（　　）
A、成等差數(shù)列
B、成等比數(shù)列
C、即成等差數(shù)列又成等比數(shù)列
D、即不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（mx+1）（lnx-1）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-
1
2
sin（2x-
π
3
）．
（1）求f（
4π
3
）的值；
（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，
π
2
]上的最大值與最小值及相應的x的值．

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同步練習冊答案