Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a²-1）x-2a（a∈R），設不等式f（x）＞0的解集為A，又知B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：由解析式對a分類討論，分別由A∩B≠∅和一元二不等式的解法，列出關于a的不等式求出a的范圍，最后再把a的范圍并在一起．

解答： 解：①當a=0時，不等式f（x）＞0化為x＞0，此時A={x|x＞0}
又B={x|1＜x＜3}
∴A∩B=B≠∅，即a=0符合題意            …（2分）
②當a≠0時，方程f（x）=0的兩根分別為 x1=2a，x2=-

1

a

…（4分）
∴當a＞0時，不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜-

1

a

或x＞2a}…（6分）
又∵B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅
∴0＜2a＜3，解得：0＜a＜

3

2

…（8分）
當a＜0時，不等式f（x）＞0的解集為{x|2a＜x＜-

1

a

}…（10分）
又∵B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅
∴

a＜0 - 1 a ＞1

，解得：-1＜a＜0…（12分）
綜上所述，a的取值范圍是(-1，

3

2

)…（14分）

點評：本題考查交集及其運算，以及含有參數(shù)一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，屬于中檔題．