考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導數(shù)的綜合應用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,不等式的解法及應用
分析:(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到切線的斜率k=
f′()=-,再求出f(
)的值,代入直線方程的點斜式得答案;
(2)令t(x)=f(x)-g(x),求導后得到導函數(shù)的零點,進一步得到函數(shù)的極小值點,求得
t(x)min=t()=0說明
ln(x+)≥-x++ln;
(3)由(1)知
f′()=,求出f(x)在
(,ln(n+))處的切線方程,然后證明
f(x)≥x-+ln(n+),得到
ln(ai+)≥ai-+ln(n+),進一步得到
n |
|
i=1 |
ln(ai+)≥n |
|
i=1 |
ai-+nln(n+)=
nln(n+),則結(jié)論得證.
解答:
(1)解:由f(x)=ln(x+
),得
f′(x)=(1-)=,
∴切線的斜率k=
f′()=-.
又f(
)=ln
,
∴f(x)在x=
處的切線方程為y-
ln=-(x-),即y=g(x)=
-x++ln;
(2)證明:令t(x)=f(x)-g(x)=
ln(x+)+x--ln(x>0),
∵
t′(x)=+=.
∴當0<x<
時,t′(x)0,
∴
t(x)min=t()=0.
故t(x)≥0,即
ln(x+)≥-x++ln;
(3)證明:由(1)知,
f′()=,
故f(x)在
(,ln(n+))處的切線方程為
y-ln(n+)=(x-),
即
y=x-+ln(n+).
先證
f(x)≥x-+ln(n+),
令h(x)=
ln(x+)-x+-ln(n+)(x>0),
∵
h′(x)=-=
(n3-n)x3+(n2+1)x2+(n3-n)x-n2-1 |
(n2+1)(x3+x) |
=
(x-)[(n3-n)x2+2n2x+n3+n] |
(x3+x)(n2+1) |
.
∴0<x<
時h′(x)0.
∴
h(x)min=h()=0.
∴
f(x)≥x-+ln(n+),
∵a
i>0,
∴
ln(ai+)≥ai-+ln(n+).
∴
n |
|
i=1 |
ln(ai+)≥n |
|
i=1 |
ai-+nln(n+)=
nln(n+).
∴(a
1+
)(a
2+
)…(a
n+
)≥(
)
n .
點評:本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值,對于(3)的證明,關(guān)鍵在于對
f(x)≥x-+ln(n+)的證明,體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,本題對于學生的計算能力要求過高,是難度較大的題目.