Question

19．如圖，有一個正三棱錐的零件，P是側(cè)面ACD上的一點．過點P作一個與棱AB垂直的截面，怎樣畫法？并說明理由．

Answer 1

分析 過點P作一個與棱AB垂直的截面，實質(zhì)就是證明AB垂直這個截面，由正三棱錐的性質(zhì)可證CD⊥AB，構(gòu)造截面的另一邊與AB垂直即可．
法一，在平面ACD中，過P點作EF∥CD，交AC于E點，交AD于F點，再過E點作EG⊥AB，連接FG，平面EFG為所求．
法二，過C在平面ABC內(nèi)M作CE⊥AB，垂足為E．連接DE．過點P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．過M作MH∥CE，交AE于H，連接HN，平面HMN為所求

解答 解：（方法一）
畫法：過點P在面ACD內(nèi)作EF∥CD，交AC于E點，交AD于F點．
過E作EG⊥AB，連接FG，平面EFG為所求．----（4分）
理由：取CD中點M，連接AM，BM．
∵A-BCD為正三棱錐，
∴AC=AD，BC=BD，
∴BM⊥CD，AM⊥CD，----（6分）
AM∩BM=M，
AM?平面ABM，BM?平面ABM，
∴CD⊥平面ABM．----（8分）
∵AB?平面ABM，
∴CD⊥AB．
∵EF∥CD，
∴EF⊥AB．----（10分）
過E作EG⊥AB，連接FG，
∵EF∩EG=E．
EF?面EFG，EG?面EFG，∴AB⊥面EFG．----（12分）
（方法二）
畫法：過C在平面ABC內(nèi)M作CE⊥AB，垂足為E．連接DE．
過點P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．
過M作MH∥CE，交AE于H，連接HN，平面HMN為所求．----（4分）
理由：∵△ABC≌△ABD，
∴DE⊥AB．----（6分）
∵$\frac{AH}{HE}=\frac{AM}{MC}$，$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}$，
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AN}{ND}$，
∴HN∥DE，----（8分）
∴AB⊥HN．
由畫法知，AB⊥HM，
∵HM∩HN=H，
HM?面MNH，HN?面MNH，
∴AB⊥平面MNH．----（12分）

點評 本題主要考查了線線垂直和線面垂直的判定定理，它們之間的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．