21.設(shè)函數(shù)()，其中.

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)當時，求函數(shù)的極大值和極小值；

(Ⅲ)當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立.

本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程，函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.

(Ⅰ)解：當時，，得，且

，.

所以，曲線在點處的切線方程是，整理得

.

(Ⅱ)解：

.

令，解得或.

由于，以下分兩種情況討論.

(1)若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且

；

函數(shù)在處取得極大值，且

.

(2)若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且

；

函數(shù)在處取得極大值，且

.

(Ⅲ)證明：由，得，當時，

，.

由(Ⅱ)知，在上是減函數(shù)，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為.

要使①式恒成立，必須，即或.

所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年靜安區(qū)質(zhì)檢） 設(shè)函數(shù)＝ ，其中．

（1）在實數(shù)集上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年沈陽市東北育才學(xué)校一模） (12分)設(shè)函數(shù)，，

其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。

（I）求函數(shù)的解析式；

（II）畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆四川省成都市高二5月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線在點（2,0）處有相同的切線。

（1）求a、b的值，并寫出切線的方程；

（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建師大附中高三上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題12分）設(shè)函數(shù)，，其中，將的最小值記為．

（I）求的表達式；

（II）設(shè)，討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）

設(shè)函數(shù)， （其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）

（Ⅰ）求函數(shù)的極大值；

（II）若時，恒有成立，試確定實數(shù)a的取值范圍。

 

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