已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在x軸上．小明從曲線C1，C2上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標（x，y）．由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上．小明的記錄如下：
x -2 -
2
 0 2 2
2
 3
y 2 0
6
 -2
2
2
 -2
3
據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為
x2
12
+
y2
6
=1
x2
12
+
y2
6
=1
．
分析：由題意可知：點(0，
6
)是橢圓C1的短軸的一個端點，或點(-
2
，0)是橢圓C1的長軸的一個端點．分此兩種情況討論：再假設拋物線C2的方程為y2=2px或y2=-2px驗證即可．
解答：解：由題意可知：點(0，
6
)是橢圓C1的短軸的一個端點，或點(-
2
，0)是橢圓C1的長軸的一個端點．以下分兩種情況討論：
①假設點(0，
6
)是橢圓C1的短軸的一個端點，則C1可以寫成
x2
a2
+
y2
6
=1，經(jīng)驗證可得：若點(2
2
，
2
)在C1上，代入求得a2=12，即
x2
12
+
y2
6
=1，剩下的4個點中（-2，2）也在此橢圓上．
假設拋物線C2的方程為y2=2px，把點(2，-2
2
)代入求得p=2，∴y2=4x，則點(3，-2
3
)，則只剩下一個點(-
2
，0)既不在橢圓上，也不在拋物線上，滿足條件．
假設拋物線C2的方程為y2=-2px，經(jīng)驗證不符合題意．
②假設點(-
2
，0)是橢圓C1的長軸的一個端點，則C1可以寫成
x2
2
+
y2
b2
=1，經(jīng)驗證不滿足條件，應舍去．
綜上可知：可推斷橢圓C1的方程為
x2
12
+
y2
6
=1．
故答案為
x2
12
+
y2
6
=1．
點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質(zhì)和分類討論的思想方法是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=
3
2
，點P為橢圓上一動點，點F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且△PF1F2面積的最大值為
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且
1
5
|
F2A
|2，
1
2
F2M
•
AM
，
AF1
•
OM
成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點A（2，3）在橢圓C1上，求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在原點，離心率為
4
5
，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)右焦點F2作垂直于x軸的直線交雙曲線C2于M、N兩點．
（I）求橢圓C1的標準方程；
（II）若雙曲線C2與橢圓C1有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C2的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C2的左支有交點，求雙曲線C2的離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為
5
3
，且經(jīng)過點M(
3
，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C2的長軸和短軸都分別是橢圓C1的長軸和短軸的m倍（m＞1），中心在原點，焦點在y軸上．過點C（-1，0）的直線l與橢圓C2交于A、B兩個不同的點，若
AC
=2
CB
，求△OAB的面積取得最大值時的直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•濟寧一模）已知橢圓C1的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=
3
2
，P為橢圓上一動點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且△PF1F2面積的最大值為
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓短軸的上端點為A、M為動點，且
1
5
|
F2A
|2，
1
2
F2M
•
AM
，
AF1
•
OM
成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C2的方程；
（3）過點M作C2的切線l交于C1與Q、R兩點，求證：
OQ
•
OR
=0．

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