Question

已知f（x）=

3

sin（π+x）sin（

3π

2

-x）-cos²x
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，bsinA=

3

acosB，b=7，sinA+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，由周期公式可求T，由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得對稱軸方程．
（Ⅱ）由已知及正弦定理得sinBsinA=

3

sinAcosB，sinA≠0，即可解得B=

π

3

，可得

a

14 3 3

+

c

14 3 3

=

13 3

14

，解得a²+c²+2ac=169，由余弦定理可得：b²=49=a²+c²+ac，從而解得：ac=40，由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin（π+x）sin（

3π

2

-x）-cos²x=（-

3

sinx）（-cosx）-

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
∴y=f（x）的對稱軸方程是：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z；
（Ⅱ）∵bsinA=

3

acosB，．
由正弦定理得，sinBsinA=

3

sinAcosB，
∵sinA≠0，即tanB=

3

，
由于0＜B＜π，所以B=

π

3

．
∵b=7，sinA+sinC=

13 3

14

，
∴由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

=

7

3 2

=

14 3

3

，
∴有

a

14 3 3

+

c

14 3 3

=

13 3

14

，解得：a+c=13，兩邊平方可得：a²+c²+2ac=169．
∵由余弦定理可得：b²=49=a²+c²+ac，
∴解得：ac=40．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．