Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．

（Ⅰ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）設平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.

解析試題分析：（Ⅰ）在平面內找一條直線與已知直線平行，通過線線平行可證；（Ⅱ）通過等體積法來求；
試題解析：（Ⅰ）如圖，設FD的中點為N，連結AN，MN．

∵M為FC的中點，
∴MN∥CD，MN＝CD．
又AO∥CD，AO＝CD，
∴MN∥AO，MN＝AO，
∴MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN，
又OM?平面DAF，AN?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．                        6分
（Ⅱ）如圖，過點F作FG⊥AB于G．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD＝S_ABCD·FG＝FG．
∵CB⊥平面ABEF，
∴V_F-CBE＝V_C-BEF＝S_△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．
∴V_F-ABCD：V_F-CBE＝4．                       13分
考點：線面平行的證明；椎體的體積求法.