如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點(diǎn)，且2BE=EP.

(1）證明：AC⊥DE;
（2）若PC＝BC，求二面角E－AC一P的余弦值.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、線線垂直的判定和二面角的求法，可以用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，先利用線面垂直得出線垂直于面內(nèi)的任意一條線，得到的條件后，利用線面垂直的判定定理得到平面，所以得證；第二問，用向量法求解，先求出面與面的法向量，再利用夾角公式求夾角.
試題解析：（1）∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴，∴平面，
∵平面，∴.       5分
（2）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，因為，
易知，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
即，令，得，同理可取平面的法向量，
所以，所以二面角的余弦值為.      12分
考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.向量法求二面角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是正方形，，且，、、分別是線段、、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求異面直線、所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，,E為PB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面.   

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn)，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)M是A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)N是B1C的中點(diǎn)，連接MN

（Ⅰ）證明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，在底面等腰梯形中，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．

（Ⅰ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）設(shè)平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF；

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