如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以直三棱柱為幾何背景，考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問，根據(jù)線面平行的判定定理，先在面內(nèi)找到線，從而證明平面；第二問，建立空間直角坐標(biāo)系,寫出所有點(diǎn)坐標(biāo),先找到平面和平面的法向量,利用線面垂直的判定可以確定是平面的法向量，而平面的法向量需要計(jì)算求出來，最后利用夾角公式求夾角余弦，注意判斷夾角是銳角還是鈍角，來判斷余弦值的正負(fù).
試題解析：（1）連接

由題意知，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

于是，
∵平面，∴，∵為正方形，∴平面，
∴是平面的一個法向量，，設(shè)平面的法向量為，，，
，，令，
∴，
設(shè)向量和向量的夾角為，則
，
∴平面與平面的夾角的余弦值是.
考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.線面平行的判定定理；3.空間向量法；4.夾角公式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱中，已知平面，且．

(1)求證：;
(2)在棱BC上取一點(diǎn)E，使得∥平面，求的值．

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如圖,直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:∥平面；
(Ⅱ)求異面直線與所成角的大小.

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如圖，在直三棱柱中，D、E分別為、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，且

(I)證明：EF∥平面ABC；
(Ⅱ)若，，求二面角的大小.

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如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面MAC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

將棱長為的正方體截去一半（如圖甲所示）得到如圖乙所示的幾何體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點(diǎn)，且2BE=EP.

(1）證明：AC⊥DE;
（2）若PC＝BC，求二面角E－AC一P的余弦值.

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