Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x）-2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=

x2-x，x∈(0，1) 1 x ，x∈[1，2]

，若x∈（0，4]時(shí)，t²-

7t

2

≤f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、[1，2]
• B、[2，

  5

  2

  ]
• C、[1，

  5

  2

  ]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由f（x+2）=2f（x）-2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函數(shù)的解析式，分別求出（0，4]內(nèi)的四段的最小值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，再由t²-

7t

2

≤f（x）恒成立即為由t²-

7t

2

≤f（x）_min，解不等式即可得到所求范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈（2，3），則x-2∈（0，1），
則f（x）=2f（x-2）-2=2（x-2）²-2（x-2）-2，即為
f（x）=2x²-10x+10，
當(dāng)x∈[3，4]，則x-2∈[1，2]，
則f（x）=2f（x-2）-2=

2

x-2

-2．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值，且為-

1

4

；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值，且為

1

2

；
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，當(dāng)x=

5

2

時(shí)，f（x）取得最小值，且為-

5

2

；
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最小值，且為-1．
綜上可得，f（x）在（0，4]的最小值為-

5

2

．
若x∈（0，4]時(shí)，t²-

7t

2

≤f（x）恒成立，
則有t²-

7t

2

≤-

5

2

．
解得1≤t≤

5

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查分段函數(shù)的最小值，運(yùn)用不等式的恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．